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\lhead{ \Large{COURS MPSI}}\chead{ \LARGE {A 7. POLYNÔMES}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
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\begin{document}


\bigskip Dans tout ce cours, $K$ d\'{e}signe $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$%
.\bigskip

I) D\'{E}FINITIONS

\qquad 1) Fonctions polyn\^{o}mes.

\bigskip

DEF : une application $f$ d'une partie $I$ de $K$ dans $K$ est dite \textit{%
polynomiale} (ou appel\'{e}e une \textit{fonction polyn\^{o}me}) si 
\begin{equation*}
\exists n\in \mathbb{N}\;\exists \left( a_{0},a_{1},...,a_{n}\right) \in
K^{n+1}\;/\;\forall x\in I\;\;f\left( x\right) =\underset{k=0}{\overset{n}{%
\sum }}a_{k}x^{k}=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}
\end{equation*}

L'ensemble des fonctions polynomiales de $I$ dans $K$ est not\'{e} $\mathcal{%
P}\left( I,K\right) $.

\bigskip

PROP : $\mathcal{P}\left( I,K\right) $ est \`{a} la fois un sous-espace
vectoriel et un sous-anneau de $\mathcal{A}\left( I,K\right) =K^{I}$ (muni
de l'addition et de la multiplication externe dans le premier cas, et muni
de l'addition et de la multiplication interne dans le deuxi\`{e}me).

D1

\bigskip

\qquad 2) Polyn\^{o}mes formels.

\bigskip

DEF : un polyn\^{o}me (formel, \`{a} une ind\'{e}termin\'{e}e) sur le corps $%
K$ est une suite d\'{e}finie sur $\mathbb{N}$ d'\'{e}l\'{e}ments de $K,$
nulle \`{a} partir d'un certain rang ; l'ensemble de ces polyn\^{o}mes est
not\'{e} $K[X]$ : 
\begin{equation*}
K[X]=\left\{ \left( a_{k}\right) _{k\geqslant 0}\;/\;\left\{ 
\begin{array}{l}
\forall k\in \mathbb{N}\;\;a_{k}\in K \\ 
\exists n\in \mathbb{N}\;/\;\forall k>n\;a_{k}=0%
\end{array}
\right. \right\}
\end{equation*}

$a_{k}$ est le \textit{coefficient d'indice }$k$ (ou de \textit{rang} $k)$
du polyn\^{o}me $P=\left( a_{k}\right) $ (mais attention : $a_{k}$ est le $%
k+1-$i\`{e}me coefficient).

En particulier, le polyn\^{o}me nul, not\'{e} par abus $0,$ est $\left(
0,0,....\right) ,$ \ et l'\textit{ind\'{e}termin\'{e}e}, not\'{e}e\textit{\ }%
$X$, est $\left( 0,1,0,0,....\right) .$

\bigskip

DEF :

\qquad - le \textit{degr\'{e}} d'un polyn\^{o}me non nul est l'indice
maximum d'un coefficient non nul ; par convention, le degr\'{e} du polyn\^{o}%
me nul est $-\infty .$%
\begin{equation*}
\text{pour }P=\left( a_{k}\right) _{k\geqslant 0},\deg P=\underset{a_{k}\neq
0}{\max }k
\end{equation*}

\bigskip \qquad - la \textit{valuation} d'un polyn\^{o}me non nul est
l'indice minimum d'un coefficient non nul ; par convention, la valuation du
polyn\^{o}me nul est $+\infty .$%
\begin{equation*}
\text{pour }P=\left( a_{k}\right) _{k\geqslant 0},\limfunc{val}P=\underset{%
a_{k}\neq 0}{\min }k
\end{equation*}

E1

\bigskip

DEF :

\qquad - les polyn\^{o}mes de degr\'{e} 0 et le polyn\^{o}me nul sont dits 
\textit{constants}.

\qquad - $P$ est appel\'{e} un \textit{mon\^{o}me} si $\deg P=\limfunc{val}P$
(un seul coefficient non nul).

\qquad - si $n=\deg P,$ le coefficient de rang $n$ est appel\'{e} le
coefficient \textit{dominant} ou "\textit{de t\^{e}te}" du polyn\^{o}me.

\qquad - un polyn\^{o}me dont le coefficient dominant est \'{e}gal \`{a} $1$
est dit \textit{normalis\'{e}}, ou \textit{unitaire}.

\bigskip

Exemple : le mon\^{o}me unitaire de degr\'{e} 1 est $X=(0,1,0,0...).$

\bigskip

II) ESPACE VECTORIEL ET ANNEAU $K[X].$

\bigskip

\qquad 1) Espace vectoriel $K[X].$

\bigskip

Remarquons que $K[X]$ est un sous-ensemble de $K^{\mathbb{N}},$ qui, muni de
l'addition et de la multiplication \`{a} op\'{e}rateurs dans $K,$ est un $K$%
-espace vectoriel ; si $P=\left( a_{k}\right) _{k\geqslant 0}$ et $Q=\left(
b_{k}\right) _{k\geqslant 0},$ par d\'{e}finition, $P+Q=\left(
a_{k}+b_{k}\right) _{k\geqslant 0}$ et $\lambda P=\left( \lambda
a_{k}\right) _{k\geqslant 0}.$

\bigskip

PROP : $K[X]$ est un sous-espace vectoriel de $K^{\mathbb{N}}.$

D2

\bigskip

\qquad 2) Multiplication des polyn\^{o}mes ; anneau $K[X].$

\bigskip

DEF : si $P=\left( a_{k}\right) $ et $Q=\left( b_{k}\right) ,$ par d\'{e}%
finition, $PQ=\left( c_{k}\right) $ avec 
\begin{equation*}
c_{k}=\underset{i+j=k}{\sum }a_{i}b_{j}=\underset{i=0}{\overset{k}{\sum }}%
a_{i}b_{k-i}=a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+...+a_{i}b_{k-i}+...+a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}
\end{equation*}

REM : pour que ceci d\'{e}finisse bien une loi de composition interne dans $%
K[X]$, il faut v\'{e}rifier que la suite $\left( c_{k}\right) $ est bien
nulle \`{a} partir d'un certain rang ; ceci vient de ce que :

\bigskip

PROP : si $\left( a_{k}\right) $ est nulle \`{a} partir du rang $n+1$ et $%
\left( b_{k}\right) $ est nulle \`{a} partir du rang $m+1$, $\left(
c_{k}\right) $ est nulle \`{a} partir du rang $n+m+1$ ; de plus $%
c_{n+m}=a_{n}b_{m}.$

D3

\bigskip

PROP : $\left( K[X],+,\times \right) $ est un anneau commutatif int\`{e}gre.

\bigskip D4

\qquad 3) Notation classique $\underset{k\geqslant 0}{\sum }a_{k}X^{k}$ des
polyn\^{o}mes.

\qquad \qquad a) On remarque que si $\lambda \in K$ 
\begin{eqnarray*}
\left( \lambda ,0,0...\right) +\left( a_{0},a_{1},...\right) &=&\left(
\lambda +a_{0},a_{1},...\right) \\
\left( \lambda ,0,0...\right) \times \left( a_{0},a_{1},...\right) &=&\left(
\lambda a_{0},\lambda a_{1},...\right)
\end{eqnarray*}

Il n'y a donc pas de contradiction \`{a} confondre le polyn\^{o}me constant $%
\left( \lambda ,0,0...\right) $ avec le scalaire $\lambda ,$ ce que l'on
fait dor\'{e}navant ; le corps $K$ est maintenant confondu avec l'ensemble
des polyn\^{o}mes constants (donc $K\subset K[X]).$

\bigskip

\qquad \qquad b) On remarque que si $k\in \mathbb{N},$ $\left(
a_{0},a_{1},...\right) \times X=\left( 0,a_{0},a_{1},...\right) \;$et donc $%
\left( 0,0,...,0,1,0,0,..\right) $ (avec le $1$ au rang $k)$ est \'{e}gal 
\`{a} $X^{k}$ (par convention, $X^{0}=1).$

\bigskip

\qquad \qquad c) On en d\'{e}duit que $\left( a_{0},a_{1},...\right) $ peut
s'\'{e}crire sous la forme 
\begin{eqnarray*}
&&\fbox{$\left( a_{0},a_{1},...\right) =a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+....=%
\underset{k\geqslant 0}{\sum }a_{k}X^{k}$} \\
&&\text{(cette derni\`{e}re somme n'\'{e}tant qu'en apparence infinie
puisque les }a_{k}\text{ sont nuls APCR).}
\end{eqnarray*}

D5

\bigskip

donc dor\'{e}navant $K[X]=\left\{ \underset{k\geqslant 0}{\sum }%
a_{k}X^{k}/\left\{ 
\begin{array}{l}
\forall k\in \mathbb{N}\;\;a_{k}\in K \\ 
\exists n\in \mathbb{N}\;/\;\forall k>n\;a_{k}=0%
\end{array}
\right. \right\} $

\bigskip

REM : la propri\'{e}t\'{e} 
\begin{equation*}
\fbox{$\left( \underset{k\geqslant 0}{\sum }a_{k}X^{k}=\underset{k\geqslant 0%
}{\sum }b_{k}X^{k}\right) \Rightarrow \forall k\in \mathbb{N}\;\;a_{k}=b_{k}$%
}
\end{equation*}

est alors une \'{e}vidence

(alors que

\begin{equation*}
\fbox{$\left( \forall x\in K\;\;\underset{k\geqslant 0}{\sum }a_{k}x^{k}=%
\underset{k\geqslant 0}{\sum }b_{k}x^{k}\right) \Rightarrow \forall k\in 
\mathbb{N}\;\;a_{k}=b_{k}$}
\end{equation*}

n'en est pas une : voir plus loin).

\qquad 4) Propri\'{e}t\'{e}s du degr\'{e} et de la valuation vis-\`{a}-vis
de la somme et du produit.

\bigskip

PROP : si $P,Q\in K[X]$%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
$%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\deg \left( P+Q\right) \leqslant \max \left( \deg P,\deg Q\right) $ \\ 
\hline
avec \'{e}galit\'{e} assur\'{e}e si $\deg P\neq \deg Q$ \\ \hline
\end{tabular}
$ & $%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\limfunc{val}\left( P+Q\right) \geqslant \min \left( \limfunc{val}P,%
\limfunc{val}Q\right) $ \\ \hline
avec \'{e}galit\'{e} assur\'{e}e si $\limfunc{val}P\neq \limfunc{val}Q$ \\ 
\hline
\end{tabular}
$ \\ \hline
$\deg PQ=\deg P+\deg Q$ & $\limfunc{val}PQ=\limfunc{val}P+\limfunc{val}Q$ \\ 
\hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D6

\qquad 5) Espace vectoriel des polyn\^{o}mes de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou 
\'{e}gal \`{a} $n.$

\bigskip

PROP : pour tout naturel $n,$ l'ensemble des polyn\^{o}mes de degr\'{e} inf%
\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n$, not\'{e} $K_{n}[X]\;$est un sous-espace
vectoriel de $K[X]$ ; la famille $\left( 1,X,X^{2},...,X^{n}\right) $ en est
une base, appel\'{e}e la \textit{base canonique} ; la dimension de $%
K_{n}[X]\;$est donc $n+1.$

\bigskip D7

\bigskip ATTENTION 1 : $\dim K_{n}[X]=n+1${\LARGE \ et non }$n$ !

ATTENTION\ 2 : $K_{n}[X]$ n'est pas un sous-anneau de $K[X],$ sauf pour $%
n=0. $

ATTENTION 3 : l'ensemble des polyn\^{o}mes de degr\'{e} $n$ n'est pas stable
par addition !

\bigskip

REM : $K_{0}[X]=K=\left\{ \text{polyn\^{o}mes constants}\right\} =\left\{ 
\text{polyn\^{o}mes de degr\'{e} 0}\right\} \cup \left\{ 0\right\} $ \ \ est
une droite vectorielle.

\bigskip

PROP : toute famille de polyn\^{o}mes de degr\'{e}s distincts (ou de
valuations distinctes) est libre. On en d\'{e}duit que si $\left(
P_{k}\right) $ est une suite de polyn\^{o}mes telle que $\deg P_{k}=k$,
alors $(P_{0},P_{1},...,P_{n})$ est une base de $K_{n}[X].$

D8

\bigskip

III) SUBSTITUTION\ D'UNE\ VALEUR D\'{E}TERMIN\'{E}E \`{A} L'IND\'{E}TERMIN%
\'{E}E $X.$

1) D\'{e}finition.

DEF : soit $x$ un \'{e}l\'{e}ment d'un anneau commutatif $A$ qui est en m%
\^{e}me temps un $K$-espace vectoriel et $P=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }%
}a_{k}X^{k}$ ; on appelle \textit{r\'{e}sultat de la substitution de }$x$%
\textit{\ \`{a} l'ind\'{e}termin\'{e}e }$X$ l'\'{e}l\'{e}ment de $A$ : 
\begin{equation*}
\fbox{$P\left( x\right) =\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}%
a_{k}x^{k}=a_{0}1_{A}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$}
\end{equation*}

Exemples : $A=\mathbb{R},A=\mathbb{C},\;A=\mathcal{M}_{2}\left( K\right) $ , 
$A=K[X]$ , $A=K^{I}.$

\bigskip

\bigskip REM 1 : $P\left( X\right) $ est donc \'{e}gal \`{a} $P.$

\bigskip REM 2 : $P\left( Q\right) $ (r\'{e}sultat de la substitution de $Q$ 
\`{a} $X$) dans $P$ peut \^{e}tre confondu avec $P.Q$ ; quand il y a ambiguit%
\'{e}, on le notera $P\circ Q.$

E3 polyn\^{o}mes de Tchebychev :

la suite de polyn\^{o}mes $\left( T_{n}\right) $ d\'{e}finie par $T_{0}=1$, $%
T_{1}=X$ et $T_{n+1}=2XT_{n}-T_{n-1}$ pour $n\geqslant 1$ est telle que 
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}\;\forall \theta \in \mathbb{R}\quad T_{n}(\cos
\theta )=\cos (n\theta ).
\end{equation*}

\bigskip De plus, $T_{n}$ est de degr\'{e} $n$ et son coefficient dominant
est $2^{n-1}$ (pour $n\geqslant 1).$

2) Relations entre $K[X]$ et $\mathcal{P}\left( I,K\right) .$

\bigskip PROP : 
\begin{equation*}
\forall P,Q\in K[X]\;\;\forall x\in K\;\left\{ 
\begin{array}{c}
\left( P+Q\right) \left( x\right) =P\left( x\right) +Q\left( x\right) \\ 
\left( PQ\right) \left( x\right) =P\left( x\right) Q\left( x\right) \\ 
\left( P\circ Q\right) \left( x\right) [\text{ou }\left( P\left( Q\right)
\right) \left( x\right) ]=P\left( Q\left( x\right) \right)%
\end{array}
\right.
\end{equation*}
D9

\bigskip

DEF : si $P$ est un polyn\^{o}me formel $\in K[X],$ la fonction polyn\^{o}me
d\'{e}finie sur $I$ \textit{associ\'{e}e} \`{a} $P$ est la fonction $%
f:\left\{ 
\begin{array}{l}
I\rightarrow K \\ 
x\mapsto P\left( x\right)%
\end{array}%
\right. $

\bigskip

PROP : l'application $\Phi $ de $K[X]$ dans $\mathcal{P}\left( I,K\right) $
qui \`{a} tout polyn\^{o}me associe cette fonction polyn\^{o}me, qui est
surjective par d\'{e}finition, est aussi un morphisme d'anneaux.

\bigskip D10

IV) DIVISIBILIT\'{E} DANS $K[X]$.

\qquad 1) Relation de divisibilit\'{e}.

\bigskip

DEF : soit $A,B$ deux polyn\^{o}mes ; on dit que $A$ \textit{divise} $B$ (ou
que $A$ est un \textit{diviseur} de $B$ ou encore que $B$ est \textit{%
multiple} de $A)$ si 
\begin{equation*}
\exists Q\in K[X]\;/\;B=AQ
\end{equation*}

Notation : $A\;|\;B.$

E2 : d\'{e}terminer les diviseurs normalis\'{e}s de $X^{4}-1$

\bigskip

PROP : la relation $|$ est r\'{e}flexive et transitive, mais non antisym\'{e}%
trique : $\left( A\;|\;B\text{ et }B\;|\;A\right) $ \'{e}quivaut \`{a} 
\begin{equation*}
\exists \lambda \in K^{\ast }\;/\;B=\lambda A
\end{equation*}

D11

\bigskip

DEF : deux polyn\^{o}mes qui se divisent mutuellement (ce qui \'{e}quivaut 
\`{a} ce qu'ils diff\`{e}rent d'une constante multiplicative) sont dits 
\textit{associ\'{e}s}.

REM : tout polyn\^{o}me non nul est associ\'{e} \`{a} un unique polyn\^{o}me
unitaire.

\bigskip

CORO : la relation $|$ \ est une relation d'ordre sur l'ensemble des polyn%
\^{o}mes unitaires.

\bigskip

\qquad 2) Division euclidienne des polyn\^{o}mes.

\bigskip

TH : \'{e}tant donn\'{e} deux polyn\^{o}mes $A,B\neq 0,$ il existe un unique
couple $\left( Q,R\right) $ de polyn\^{o}mes v\'{e}rifiant 
\begin{equation*}
A=BQ+R,\text{ avec }\deg R<\deg B
\end{equation*}

$Q$ et $R$ sont appel\'{e}s respectivement le \textit{quotient} et le 
\textit{reste} de la division euclidienne de $A$ par $B.$

\bigskip

D12 : utilisant, pour l'existence, le lemme : si $\deg A\geqslant \deg B,$
il existe $Q_{1}$ et $A_{1}$ tels que $A=BQ_{1}+A_{1}$ avec $\deg A_{1}<\deg
A.$

\bigskip

\bigskip 3) Polyn\^{o}mes premiers entre eux, PGCD, PPCM.

\qquad a) Polyn\^{o}mes premiers entre eux (ou \'{e}trangers).

Si $A$ est un polyn\^{o}me, on note $\mathcal{M}_{A}=\left\{ AU\ \ /\ \ U\in
K[X]\right\} $ l'ensemble des multiples de $A.$

\bigskip

LEMME FONDAMENTAL : si $A$ et $B$ sont deux polyn\^{o}mes non nuls, il
existe un unique polyn\^{o}me $D$ unitaire tel que $\mathcal{M}_{A}+\mathcal{%
M}_{B}=\mathcal{M}_{D}.$

\bigskip

D13

\qquad

On note $\mathcal{D}_{A}$ l'ensemble des diviseurs normalis\'{e}s d'un polyn%
\^{o}me $A.$

\bigskip

DEF : deux polyn\^{o}mes $A$ et $B\in K[X]$ sont dits \textit{premiers entre
eux} ssi leur seul diviseur commun normalis\'{e} est 1 (i. e. $\mathcal{D}%
_{A}\cap \mathcal{D}_{B}=\{1\}).$

\bigskip

TH de B\'{e}zout : $A$ et $B$ sont premiers entre eux si et seulement s'il
existe deux polyn\^{o}mes $U$ et $V$ tels que $AU+BV=1.$

D14 (application du lemme).

\bigskip

\bigskip COROLLAIRE : TH de Gauss : si $A$ divise $BC$ et $A$ et $B$ sont
premiers entre eux, alors $A$ divise $C$.

D15

\bigskip

\qquad b) PGCD.

\bigskip

TH : Soient $A,B$ 2 polyn\^{o}mes non nuls, et $D$ l'unique polyn\^{o}me
normalis\'{e} tel que $\mathcal{M}_{A}+\mathcal{M}_{B}=\mathcal{M}_{D}$

alors

\qquad 1) $D$ divise $A$ et $B$ et tout diviseur commun \`{a} $A$ et $B$
divise $D$

\qquad 2) $D$ est l'unique polyn\^{o}me normalis\'{e} de degr\'{e} maximum
divisant $A$ et $B.$

$\qquad $3) $A/D$ et $B/D$ sont premiers entre eux.

\qquad \bigskip

D16

\bigskip

DEF : ce polyn\^{o}me $D$ est appel\'{e} le PGCD de $A$ et $B.$

Notation : $PGCD\left( A,B\right) $ ou $A\wedge B.$

\bigskip

\bigskip PROP : $A$ et $B$ sont premiers entre eux ssi leur PGCD est 1.

D17

\bigskip

REM 1 : on peut poser $A\wedge 0=0\wedge A=A.$

\bigskip

REM 2 : mutatis mutandis, l'algorithme d'Euclide fonctionne chez les polyn%
\^{o}mes exactement comme chez les entiers.

\bigskip

\qquad c) PPCM.

\bigskip TH et d\'{e}finition : si $A$ et $B$ sont deux polyn\^{o}mes non
nuls, il existe un unique polyn\^{o}me $M$ unitaire tel que $\mathcal{M}%
_{A}\cap \mathcal{M}_{B}=\mathcal{M}_{M}.$ $M$ est appel\'{e} le PPCM de $A$
et $B.$ Notation : $PPCM\left( A,B\right) $ ou $A\vee B.$

\bigskip

TH : a) pour $A,B,M$ polyn\^{o}mes non nuls, $M$ normalis\'{e}, on a $%
M=PPCM(A,B)$ ssi l'une des propri\'{e}t\'{e}s suivantes est r\'{e}alis\'{e}e
:

\qquad 1) $M$ est multiple de $A$ et $B$ et tout multiple de $A$ et $B$ est
multiple de $M$

\qquad 2) $M$ est un multiple de $A$ et $B$ ayant un degr\'{e} minimal.

$\qquad $3) $M$ divise $AB$ et $D=(AB)/M$ est associ\'{e} au $PGCD$ de $A$
et $B.$

\qquad

D18

Pour 3) utiliser : si $D_{1}$ divise $A$ et $B$ alors $A$ et $B$ divisent $%
AB/D_{1}.$

REM : on a donc $PPCM\left( A,B\right) .PGCD\left( A,B\right) =AB$ si $A$ et 
$B$ sont normalis\'{e}s.\bigskip

V) RACINES (OU Z\'{E}ROS) DES POLYN\^{O}MES.

\bigskip

1) D\'{e}finition et premiers exemples.

DEF : soit $P\in K[X]$ et $x_{0}\in K$ ; on dit que $x_{0}$ est une racine
(ou un z\'{e}ro) de $P$ si $P\left( x_{0}\right) =0.$

\bigskip

PROP : $x_{0}$ est une racine de $P$ ssi le polyn\^{o}me $X-x_{0}$ divise $P$
dans $K[X].$

D19 (deux m\'{e}thodes).

\bigskip

Exemples class\'{e}s suivant le degr\'{e} $n$ de $P$ :

\bigskip

\qquad $\blacktriangle $ $n=0$ :

\bigskip

\qquad $\blacktriangle $ $n=1$ : $aX+b$ a une unique racine : -$\dfrac{b}{a}%
. $

\bigskip

\qquad $\blacktriangle $ $n=2$ : 
\begin{eqnarray*}
P &=&aX^{2}+bX+c=a\left( ..........................\right) =a\left( \left(
.............\right) ^{2}+...............\right) \\
&=&\fbox{$a\left( \left( X+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}-\dfrac{\Delta }{\left(
2a\right) ^{2}}\right) =\dfrac{1}{4a}\left( \left( 2aX+b\right) ^{2}-\Delta
\right) $} \\
\text{(forme canonique de }P,\text{ avec }\Delta &=&b^{2}-4ac)
\end{eqnarray*}

PROP : $P$ poss\`{e}de des racines ssi $\Delta $ est un carr\'{e} dans $K$ ;
si c'est le cas, $\Delta =\delta ^{2}$ et $P=a\left( X-x_{1}\right) \left(
X-x_{2}\right) $\ avec 
\begin{equation*}
\text{ }x_{1}=\dfrac{..............}{{}},x_{2}=\dfrac{.................}{{}}
\end{equation*}

\qquad $\blacktriangle $ $n=3$ : donner un exemple avec $0,1,2$ ou $3$
racines distinctes. E3

\bigskip

REM : on d\'{e}montre en analyse \`{a} partir du th\'{e}or\`{e}me des
valeurs interm\'{e}diaires que tout polyn\^{o}me \`{a} coefficients r\'{e}%
els de degr\'{e} impair poss\`{e}de au moins une racine r\'{e}elle ; par
contre, si $n=2p$ est pair, il existe toujours un polyn\^{o}me r\'{e}el de
degr\'{e} $n$ sans racine r\'{e}elle : ...........

\bigskip

\qquad 2) Nombre de racines d'un polyn\^{o}me.

\bigskip

PROP : un polyn\^{o}me non nul a toujours un nombre fini de racines
distinctes, inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} son degr\'{e}.

D20

\bigskip

CORO 1 (contrapos\'{e}e de la prop. pr\'{e}c\'{e}dente) : un polyn\^{o}me
ayant une infinit\'{e} de racines est nul : 
\begin{equation*}
\exists A\,\text{\ infini }\subset K\;/\;\forall x\in A\;\;P\left( x\right)
=0\Rightarrow \fbox{$P=0$}\left( \Rightarrow P\left( x\right) =0\;\forall
x\in K\right)
\end{equation*}

Un polyn\^{o}me qui s'annule en une infinit\'{e} de points s'annule donc
partout.

\bigskip

Application : la fonction $\cos $ n'est donc pas polynomiale.

\bigskip

CORO 2 : si $a_{0},a_{1},...,a_{n}\in K$ et si $\forall x\in A$\ infini $%
\subset K$ $\;\;\;a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}=0$ alors 
\begin{equation*}
a_{0}=a_{1}=...=a_{n}=0
\end{equation*}

D21

\bigskip E4

\bigskip

CORO 3 : deux polyn\^{o}mes \'{e}gaux en une infinit\'{e} de points sont 
\'{e}gaux (donc \'{e}gaux en tout point de $K$) :

\begin{equation*}
\exists A\,\text{\ infini }\subset K\;/\;\forall x\in A\;\;P\left( x\right)
=Q\left( x\right) \Rightarrow \fbox{$P=Q$}\left( \Rightarrow P\left(
x\right) =Q\left( x\right) \;\forall x\in K\right)
\end{equation*}

D22

\bigskip

Application : si $P,Q\in \mathbb{R}[X]$ et $\forall \theta \in \mathbb{R}%
\;\;P\left( \cos \theta \right) =Q\left( \cos \theta \right) ,$ alors $P=Q$
(et donc $P\left( x\right) =Q\left( x\right) \;\;\;\forall x\in \mathbb{R}$
et m\^{e}me $P\left( z\right) =Q\left( z\right) \;\forall z\in \mathbb{C}).$

A1

\bigskip

REM : ce corollaire est parfois appel\'{e} le \textit{th\'{e}or\`{e}me de
prolongation des identit\'{e}s alg\'{e}briques} : si une identit\'{e} alg%
\'{e}brique (autrement dit, polynomiale) est v\'{e}rifi\'{e}e sur un
ensemble infini, elle est v\'{e}rifi\'{e}e partout.

\bigskip

CORO 4 : l'application $\Phi $ d\'{e}finie dans III) 2) qui relie les
fonctions polyn\^{o}mes et les polyn\^{o}mes formels est bijective d\`{e}s
que la partie $I$ est infinie ; $\mathcal{P}\left( I,K\right) $ et $K[X]$
sont donc dans ce cas des anneaux isomorphes.

D23

\bigskip

REM : par contre, si $I=\left\{ x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\} $ est finie,
l'application $\Phi $ n'est pas injective (car 0 et $\left( X-x_{1}\right)
...\left( X-x_{n}\right) $ ont la m\^{e}me image), et en fait, toute
application de $I$ dans $K$ est polynomiale ! : $\mathcal{P}\left(
I,K\right) =\mathcal{A}\left( I,K\right) .$

\bigskip

\qquad 3) Ordre de multiplicit\'{e} d'une racine.

\bigskip

DEF : on donne $P\in K[X],x_{0}\in K,k\in \mathbb{N}$ ; on dit que $x_{0}$
est une racine \textit{d'ordre de multiplicit\'{e}} $k$ de $P$ si

\begin{equation*}
\left( X-x_{0}\right) ^{k}\;\text{divise}\;P\;\text{mais}\;\left(
X-x_{0}\right) ^{k+1}\;\text{ne divise pas}\;P
\end{equation*}

Rem :

\qquad - ''ordre de multiplicit\'{e}'' est raccourci en ''ordre'', ou
''multiplicit\'{e}'' tout court, suivant les go\^{u}ts.

\bigskip

\qquad - une racine d'ordre 0 n'est pas une racine... (bizarre, mais
pratique).

\bigskip

\qquad - une racine d'ordre 1 est dite \textit{simple}, d'ordre 2 : \textit{%
double}, d'ordre 3 : \textit{triple} etc...., d'ordre $k$ : $k-$\textit{uple}%
.

\bigskip

\qquad - une racine d'ordre $\geqslant 2$ est dit \textit{multiple} (ou 
\textit{au moins double}).

\bigskip

CNS : $x_{0}$ est une racine \textit{d'ordre} $k$ de $P$ ssi $\exists Q\in
K[X]\;/\;P=\left( X-x_{0}\right) ^{k}Q,$ avec $Q\left( x_{0}\right) \neq 0.$

\bigskip D24

PROP : tout polyn\^{o}me $P$ non nul s'\'{e}crit de fa\c{c}on unique sous la
forme 
\begin{equation*}
P=\left( X-x_{1}\right) ^{\alpha _{1}}\left( X-x_{2}\right) ^{\alpha
_{2}}...\left( X-x_{p}\right) ^{\alpha _{p}}Q\;\text{avec }Q\in K[X]\text{
sans racine dans }K
\end{equation*}

D25, E5.\ \ 

\bigskip

REM : $p$ est le nombre de racines distinctes de $P,$ et $q=\alpha
_{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{p},$ somme des ordres des racines de $P$ est
parfois appel\'{e} ''\textit{nombre de racines de }$P,$\textit{\ en comptant
les ordres de multiplicit\'{e}}''.

\bigskip

PROP : si $n$ est le degr\'{e} de $P,$ $p\leqslant q\leqslant n.$

D26,\ \ E6

\bigskip

\qquad 4) Polyn\^{o}me scind\'{e}.

\bigskip

DEF : un polyn\^{o}me \textit{scind\'{e}} est un polyn\^{o}me qui est
produit de polyn\^{o}mes du premier degr\'{e}.

\bigskip

CNS : avec les notations du paragraphe pr\'{e}c\'{e}dent, $P$ est scind\'{e} 
$\Leftrightarrow Q$ est constant, $\Leftrightarrow q=n$ (somme des ordres =
degr\'{e}).

\bigskip

REM : si $P\in \mathbb{R}[X],$ il faut toujours pr\'{e}ciser si $P$ est scind%
\'{e} en tant que polyn\^{o}me \`{a} coefficients r\'{e}els (on dit : scind%
\'{e} sur $\mathbb{R}$), ou en tant que polyn\^{o}me \`{a} coefficients
complexes (on dit : scind\'{e} sur $\mathbb{C}).$

\bigskip

E7

\bigskip

VI) D\'{E}RIVATION DES POLYN\^{O}MES ; FORMULE DE TAYLOR.

\bigskip

\bigskip \qquad 1) D\'{e}finition.

DEF : le polyn\^{o}me d\'{e}riv\'{e} du polyn\^{o}me $P=\underset{k\geqslant
0}{\sum }a_{k}X^{k}$ est le polyn\^{o}me, not\'{e} $P^{\prime }=\underset{%
k\geqslant 1}{\sum }ka_{k}X^{k-1}=\underset{k\geqslant 0}{\sum }\left(
k+1\right) a_{k+1}X^{k}.$

\bigskip Les polyn\^{o}mes d\'{e}riv\'{e}s successifs se notent de la m\^{e}%
me fa\c{c}on que pour les fonctions.

On notera $D$ l'application : $\left\{ 
\begin{array}{c}
K[X]\rightarrow K[X] \\ 
P\mapsto P^{\prime }%
\end{array}%
\right. $

Propri\'{e}t\'{e}s :

P1 : $P\in K\Leftrightarrow P^{\prime }=0$

\bigskip

P2 : si $\deg \left( P\right) \geqslant 1,\;\deg $ $P^{\prime }=\deg P-1,$
et mieux, si $n\geqslant 1,$ $P\in K_{n}[X]\Leftrightarrow P^{\prime }\in
K_{n-1}[X]$

\bigskip

P3 : $\left( P+Q\right) ^{\prime }=P^{\prime }+Q^{\prime }$ ; $\left(
\lambda P\right) ^{\prime }=\lambda P^{\prime }$ ; $\left( PQ\right)
^{\prime }=P^{\prime }Q+PQ^{\prime }$

\bigskip

P4 : $\left( P\circ Q\right) ^{\prime }=\left( P^{\prime }\circ Q\right)
Q^{\prime }$

D27

\bigskip

\qquad 2) Formule de Taylor.

\bigskip

PROP : (formule de Taylor pour les polyn\^{o}mes)

\bigskip

Si deg$P=n,$%
\begin{equation*}
P=P\left( X\right) =\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{P^{\left(
k\right) }\left( x_{0}\right) }{k!}\left( X-x_{0}\right) ^{k}=P\left(
x_{0}\right) +P^{\prime }\left( x_{0}\right) \left( X-x_{0}\right)
+P^{\prime \prime }\left( x_{0}\right) \dfrac{\left( X-x_{0}\right) ^{2}}{2}%
+..+P^{\left( n\right) }\left( x_{0}\right) \dfrac{\left( X-x_{0}\right) ^{n}%
}{n!}
\end{equation*}

ou, ce qui revient au m\^{e}me 
\begin{equation*}
P\left( x_{0}+X\right) =\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{P^{\left(
k\right) }\left( x_{0}\right) }{k!}X^{k}=P\left( x_{0}\right) +P^{\prime
}\left( x_{0}\right) X+P^{\prime \prime }\left( x_{0}\right) \dfrac{X^{2}}{2}%
+..+P^{\left( n\right) }\left( x_{0}\right) \dfrac{X^{n}}{n!}
\end{equation*}

D28

\bigskip

COROLLAIRE :

un polyn\^{o}me de degr\'{e} $n$ est enti\`{e}rement d\'{e}termin\'{e} par
la connaissance de $P\left( x_{0}\right) ,P^{\prime }\left( x_{0}\right)
,P^{\prime \prime }\left( x_{0}\right) ,...,P^{\left( n\right) }\left(
x_{0}\right) $

\bigskip

\bigskip E8 : \'{e}crire la formule de Taylor pour $\left( 1+X\right) ^{n}$
et $x_{0}=0.$

\bigskip

\qquad 3) Caract\'{e}risation de l'ordre de multiplicit\'{e} \`{a} partir
des polyn\^{o}mes d\'{e}riv\'{e}s.

\bigskip On donne $P\in K[X],x_{0}\in K,k\in \mathbb{N}^{\ast }.$

\bigskip PROP : si $x_{0}$ est racine d'ordre $k$ de $P,$ alors $x_{0}$ est
racine d'ordre $k-1$ de $P^{\prime }.$

D 28 bis

\bigskip REM 1 : pour $k$ = 1, ceci donne : si $x_{0}$ est racine simple de $%
P,$ alors $x_{0}$ n'est pas racine de $P^{\prime }.$

REM 2 : la r\'{e}ciproque est fausse !

REM 3 : on en d\'{e}duit \'{e}videmment : si $x_{0}$ est racine d'ordre $k$
de $P,$ alors 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$x_{0}$ est racine d'ordre $k-1$ de $P^{\prime }$ \\ \hline
$x_{0}$ est racine d'ordre $k-2$ de $P^{\prime \prime }$ \\ \hline
... \\ \hline
$x_{0}$ est racine simple de $P^{.........}$ \\ \hline
$x_{0}$ n'est pas racine de $P^{.........}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

On en d\'{e}duit la caract\'{e}risation :

TH : $x_{0}$ est une racine d'ordre $k$ de $P$ ssi 
\begin{equation*}
P(x_{0})=P^{\prime }\left( x_{0}\right) =....=P^{......}\left( x_{0}\right)
=0\text{ et }P^{.....}\left( x_{0}\right) \neq 0
\end{equation*}

D29

\bigskip

CORO : $x_{0}$ est une racine multiple de $P$ ssi $P(x_{0})=P^{\prime
}\left( x_{0}\right) =0.$

\bigskip

VII) \bigskip POLYN\^{O}MES IRR\'{E}DUCTIBLES. R\'{E}DUCTION.\bigskip

DEF : un polyn\^{o}me $P\in K[X]$ est dit \textit{r\'{e}ductible }ou\textit{%
\ factorisable }(sur $K)$ s'il est divisible par un polyn\^{o}me non
constant $\in K[X]$ de degr\'{e} strictement inf\'{e}rieur \`{a} son degr%
\'{e}. Il est dit \textit{irr\'{e}ductible} s'il est non constant et non r%
\'{e}ductible.

\bigskip

REM\ : les polyn\^{o}mes constants ne sont donc ni r\'{e}ductibles, ni irr%
\'{e}ductibles !

\bigskip

CNS :

$\qquad 1)\;P$ est r\'{e}ductible ssi $P$ est produit de deux polyn\^{o}mes
non constants.

\qquad 2) $P$ est irr\'{e}ductible ssi $P$ est non constant et $P$ n'est
divisible que par $\lambda $ et $\lambda P$ avec $\lambda \in K^{\ast }.$

\qquad 3) $P$ est irr\'{e}ductible ss'il a exactement deux diviseurs
unitaires (1 et $\dfrac{P}{\text{coef dominant de }P}).$

D30

\bigskip

REM 1 : les polyn\^{o}mes irr\'{e}ductibles (resp. r\'{e}ductibles) sont
donc aux polyn\^{o}mes ce que sont les nombres premiers (resp. compos\'{e}s)
aux naturels.

\bigskip

REM 2 : un polyn\^{o}me de $\mathbb{R}[X]$ peut \^{e}tre irr\'{e}ductible
sur $\mathbb{R}$ et r\'{e}ductible sur $\mathbb{C}$ ; exemple : $X^{2}+1.$

\bigskip

REM 3 : les seuls polyn\^{o}mes scind\'{e}s irr\'{e}ductibles sont ceux du
premier degr\'{e}.

\bigskip

REM 4 : Il faut combattre la croyance fortement ancr\'{e}e consistant \`{a}
penser qu'un polyn\^{o}me irr\'{e}ductible est un polyn\^{o}me sans racine ;
en effet :

\qquad 1) les polyn\^{o}mes du premier degr\'{e} sont irr\'{e}ductibles, et
pourtant ils ont une racine.

\qquad 2) le polyn\^{o}me $\left( X^{2}+1\right) \left( X^{2}+2\right) \in 
\mathbb{R}[X]$ est sans racine (r\'{e}elle) et il est pourtant r\'{e}%
ductible.

\bigskip

Par contre :

PROP :

\qquad 1) un polyn\^{o}me irr\'{e}ductible sur $K$ de degr\'{e} $\geqslant 2$
n'a pas de racine dans $K.$

\qquad 2) un polyn\^{o}me de degr\'{e} $2$ ou $3$ est irr\'{e}ductible ss'il
n'a pas de racine.

D31

\bigskip

Exemple : un polyn\^{o}me \`{a} coefficients r\'{e}els de degr\'{e} impair $%
\geqslant 3$ est toujours r\'{e}ductible sur $\mathbb{R}$.

\bigskip

E9

\bigskip

TH de d\'{e}composition :

\bigskip Tout polyn\^{o}me non constant se d\'{e}compose de mani\`{e}re
unique en produit de facteurs irr\'{e}ductibles.

3) Th\'{e}or\`{e}me de D'ALEMBERT-GAUSS.

\bigskip

TH\'{E}OR\`{E}ME FONDAMENTAL DE L'ALG\`{E}BRE, ou TH\'{E}OR\`{E}ME de
D'ALEMBERT-GAUSS (admis) :

Tout polyn\^{o}me \`{a} coefficients complexes non constant poss\`{e}de au
moins une racine complexe.

\bigskip

CORO 1 : tout polyn\^{o}me \`{a} coefficients r\'{e}els non constant poss%
\`{e}de au moins une racine complexe.

\bigskip

CORO 2 : Tout polyn\^{o}me non nul de degr\'{e} $n$ \`{a} coefficients
complexe est scind\'{e} sur $\mathbb{C}$ : la somme des ordre de ses racines
est \'{e}gal \`{a} $n$ (ou, selon l'expression consacr\'{e}e : il poss\`{e}%
de $n$ racines complexes en comptant les ordres de multiplicit\'{e}).

D32

\bigskip

CORO 3 : Les seuls polyn\^{o}mes irr\'{e}ductibles de $\mathbb{C}[X]$ sont
les polyn\^{o}mes de degr\'{e} 1.

D33

\bigskip

4) Application \`{a} la r\'{e}duction des polyn\^{o}mes \`{a} coefficients r%
\'{e}els.

\bigskip

\qquad a) Conjugu\'{e} d'un polyn\^{o}me \`{a} coefficients complexes.

\bigskip

DEF : le conjugu\'{e} d'un polyn\^{o}me \`{a} coefficients complexe est le
polyn\^{o}me obtenu en conjuguant les coefficients : 
\begin{equation*}
\text{si }P=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}X^{k},\;\text{le conjugu%
\'{e} de }P\text{\ est }\overline{P}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}%
\overline{a_{k}}X^{k}
\end{equation*}

Propri\'{e}t\'{e}s pour $P,Q\in $ $\mathbb{C}[X]$ :

P1 : $\forall z\in \mathbb{C\;}\overline{P\left( z\right) }=\overline{P}%
\left( \overline{z}\right) $

\bigskip

P2 : $\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q},$ $\overline{P.Q}=\overline{P}%
.\overline{Q}$

\bigskip

P3 : $P\in $ $\mathbb{R}[X]\Leftrightarrow P=\overline{P}.$

\bigskip

P4 : si $P\in $ $\mathbb{C}[X],$ $P+\overline{P},P\overline{P}\in $ $\mathbb{%
R}[X].$

\bigskip

P5 : $z_{0}\in \mathbb{C\;}$est racine de $P\;$d'ordre $\alpha
\Leftrightarrow \overline{z_{0}}$ est racine de $\overline{P}\;$d'ordre $%
\alpha .$

D34

\bigskip

COROLLAIRE : si $z_{0}\mathbb{\ }$est racine complexe non r\'{e}elle d'ordre 
$\alpha $ d'un polyn\^{o}me r\'{e}el $P\;,$ alors $\overline{z_{0}}\mathbb{\;%
}$est aussi racine de $P\;$d'ordre $\alpha $ et $P$ est donc divisible par
le polyn\^{o}me \`{a} coefficients r\'{e}els : 
\begin{equation*}
\left( X-z_{0}\right) ^{\alpha }\left( X-\overline{z_{0}}\right) ^{\alpha
}=\left( X^{2}-2\func{Re}\left( z_{0}\right) X+\left\vert z_{0}\right\vert
^{2}\right) ^{\alpha }
\end{equation*}

Ex : trouver les polynomes r\'{e}els de degr\'{e} 4 ayant $3-i$ pour racine
double.

\qquad b) R\'{e}duction des polyn\^{o}mes \`{a} coefficient r\'{e}els

\bigskip

COROLLAIRE du Th\'{e}or\`{e}me de D'Alembert pour les polyn\^{o}mes \`{a}
coefficients r\'{e}els :

Tout polyn\^{o}me de degr\'{e} $n,$ de coefficient dominant $a_{n}$ \`{a}
coefficients r\'{e}els poss\`{e}de sur $\mathbb{C}$ une d\'{e}composition
unique sous la forme 
\begin{equation*}
P=a_{n}\left( X-x_{1}\right) ^{\alpha _{1}}...\left( X-x_{p}\right) ^{\alpha
_{p}}\left( X-z_{1}\right) ^{\beta _{1}}\left( X-\overline{z_{1}}\right)
^{\beta _{1}}...\left( X-z_{r}\right) ^{\beta _{r}}\left( X-\overline{z_{r}}%
\right) ^{\beta _{r}}
\end{equation*}

Les $x_{i}$ sont les $p$ racines r\'{e}elles de $P,$ d'ordres respectifs $%
\alpha _{i}.$

Les $z_{i}$ et $\overline{z_{i}}$ sont les $2r$ racines non r\'{e}elles de $%
P,$ d'ordres respectifs $\beta _{i}.$

Et on a : 
\begin{equation*}
n=\underset{i=1}{\overset{p}{\sum }}\alpha _{i}+2\underset{i=1}{\overset{r}{%
\sum }}\beta _{i}
\end{equation*}

D35

\bigskip

Sur $\mathbb{R}$ on obtient donc la d\'{e}composition 
\begin{equation*}
P=a_{n}\left( X-x_{1}\right) ^{\alpha _{1}}...\left( X-x_{p}\right) ^{\alpha
_{p}}\left( X^{2}-2\func{Re}\left( z_{1}\right) X+\left| z_{1}\right|
^{2}\right) ^{\beta _{1}}...\left( X^{2}-2\func{Re}\left( z_{r}\right)
X+\left| z_{r}\right| ^{2}\right) ^{\beta _{r}}
\end{equation*}

qui peut s'\'{e}crire, avec l'\'{e}criture exponentielle des $z_{i}$ : $%
z_{i}=\rho _{i}e^{i\theta _{i}}$%
\begin{equation*}
P=a_{n}\left( X-x_{1}\right) ^{\alpha _{1}}...\left( X-x_{p}\right) ^{\alpha
_{p}}\left( X^{2}-2\rho _{1}\cos \theta _{1}X+\rho _{1}^{2}\right) ^{\beta
_{1}}...\left( X^{2}-2\rho _{r}\cos \theta _{r}X+\rho _{r}^{2}\right)
^{\beta _{r}}
\end{equation*}

\bigskip

COROLLAIRE 1 : les polyn\^{o}mes irr\'{e}ductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont
les polyn\^{o}mes du premier degr\'{e} et les polyn\^{o}mes du second degr%
\'{e} de discriminant n\'{e}gatif.

D36

\bigskip

COROLLAIRE 2 : la d\'{e}composition en produit de facteurs irr\'{e}ductibles
d'un polyn\^{o}me non constant de $\mathbb{R}[X]$ est form\'{e}e de polyn%
\^{o}mes du premier degr\'{e} et de polyn\^{o}mes du second degr\'{e} de
discriminant n\'{e}gatif.

\bigskip

E10

\bigskip

VIII) RELATIONS ENTRE LES RACINES ET LES COEFFICIENTS D'UN POLYN\^{O}ME SCIND%
\'{E}.

\bigskip

\qquad 1) Cas du degr\'{e} 2

PROP : si $P=aX^{2}+bX+c=a\left( X-x_{1}\right) \left( X-x_{2}\right) $ est
un polyn\^{o}me scind\'{e} de degr\'{e} 2, alors 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$s=x_{1}+x_{2}=............$ \\ \hline
$p=x_{1}x_{2}=.............$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\qquad 2$)\;$Cas du degr\'{e} 3

\bigskip

PROP : $P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d=a\left( X-x_{1}\right) \left( X-x_{2}\right)
\left( X-x_{3}\right) $ est un polyn\^{o}me scind\'{e} de degr\'{e} 3, alors 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$s=\sigma _{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=............$ \\ \hline
$\sigma _{2}=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=.............$ \\ \hline
$p=\sigma _{3}=x_{1}x_{2}x_{3}=.............$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

\qquad 3) Cas g\'{e}n\'{e}ral

\bigskip

LEMME : si $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ sont $n$ \'{e}l\'{e}ments de $K,$ le d%
\'{e}veloppement du produit $\left( X-x_{1}\right) \left( X-x_{2}\right)
...\left( X-x_{n}\right) $ s'\'{e}crit : 
\begin{equation*}
X^{n}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\left( -1\right) ^{k}\sigma
_{k}X^{n-k}
\end{equation*}%
o\`{u} $\sigma _{k}$ est la somme de tous les produits $k$ \`{a} $k$ des
scalaires $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ : 
\begin{equation*}
\sigma _{k}=\underset{1\leqslant i_{1}<i_{2}<...<i_{k}\leqslant n}{\overset{n%
}{\sum }}x_{i_{1}}...x_{i_{k}}=\underset{\left\{ 
\begin{array}{c}
J\subset \left[ |1,n|\right] \\ 
\left\vert J\right\vert =k%
\end{array}%
\right. }{\sum }\underset{j\in J}{\dprod }x_{j}
\end{equation*}

D37

DEF : le nombre $\sigma _{k}$ s'appelle la $k$-i\`{e}me \textit{expression
sym\'{e}trique \'{e}l\'{e}mentaire} des nombres $x_{1},x_{2},...,x_{n}.$

REM 1 : $\sigma _{1}$ est la somme des $x_{i}$ et $\sigma _{n}$ est leur
produit.

REM 2 : le nombre de produits $x_{i_{1}}...x_{i_{k}}$ dans l'\'{e}criture de 
$\sigma _{k}$ vaut $\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) .$

PROP : si $P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_{1}X+a_{0}=a_{n}\left(
X-x_{1}\right) \left( X-x_{2}\right) ...\left( X-x_{n}\right) $ est un polyn%
\^{o}me scind\'{e} de degr\'{e} $n$, alors les racines de $P$ et ses
coefficients sont li\'{e}s par les relations : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$s=\sigma _{1}=x_{1}+...+x_{n}=.........$ \\ \hline
... \\ \hline
$\sigma _{k}=\underset{1\leqslant i_{1}<i_{2}<...<i_{k}\leqslant n}{\overset{%
n}{\sum }}x_{i_{1}}...x_{i_{k}}=...............$ \\ \hline
... \\ \hline
$p=\sigma _{n}=x_{1}...x_{n}=..................$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
D38

\bigskip

E11 : cas $n=4$

\bigskip

4) Applications.

\bigskip

\qquad a) Calculs d'expressions sym\'{e}triques des racines, sans avoir
besoin de conna\^{\i}tre ces racines.

\bigskip

On constatera que si $f\left( x_{1},...,x_{n}\right) $ est une expression sym%
\'{e}trique des $x_{1},...,x_{n}$ (c'est-\`{a} dire que si on permute un $%
x_{i}$ et un $x_{j}$ le r\'{e}sultat ne change pas), alors on peut mettre $%
f\left( x_{1},...,x_{n}\right) $ sous la forme $g\left( \sigma
_{1},...,\sigma _{n}\right) .$

Comme les $\sigma _{k}$ s'expriment \`{a} partir des coefficients du polyn%
\^{o}me par les relations ci-dessus, on peut donc calculer $f\left(
x_{1},...,x_{n}\right) $ sans avoir besoin de conna\^{\i}tre les valeurs des
scalaires $x_{1},...,x_{n}$.

E12

\bigskip

\qquad b) R\'{e}solutions de syst\`{e}mes sym\'{e}triques en les inconnues $%
x_{1},...,x_{n}$ par la d\'{e}termination des racines d'un polyn\^{o}me.

E13

\bigskip

BLAGUE : M. et Mme Heaumes ont une fille....

\end{document}
